下学期 4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质2
师:请同学思考以下几个问题:
(1)正弦、余弦函数的定义域是什么?
(2)正弦、余弦函数的值域是什么?
(3)他们最值情况如何?
(4)他们的正负值区间如何分?
(5) 的解集如何?
师生一起归纳得出:
(1)正弦函数、余弦函数的定义域都是 .
(2)正弦函数、余弦函数的值域都是 即
,
,称为正弦函数、余弦函数的有界性.
(3)取最大值、最小值情况:
正弦函数 ,当
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余弦函数 ,当
,(
)时,函数值
取最大值1,当
,(
)时,函数值
取最小值-1.
(4)正负值区间:
(
)
(5)零点: (
)
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3.例题分析
【例1】求下列函数的定义域、值域:
(1) ; (2)
; (3)
.
解:(1) ,
(2)由 (
)
又∵ ,∴
∴定义域为 (
),值域为
.
(3)由 (
),又由
∴
∴定义域为 (
),值域为
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指出:求值域应注意用到 或
有界性的条件.
【例2】求下列函数的最大值,并求出最大值时 的集合:
(1) ,
; (2)
,
;
(3) (4)
.
解:(1)当 ,即
(
)时,
取得最大值
∴函数的最大值为2,取最大值时 的集合为
.
(2)当 时,即
(
)时,
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∴函数的最大值为1,取最大值时 的集合为
.
(3)若 ,
,此时函数为常数函数.
若 时,
∴
时,即
(
)时,函数取最大值
,
∴ 时函数的最大值为
,取最大值时
的集合为
.
(4)若 ,则当
时,函数取得最大值
.
若 ,则
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www.77xue.com ,此时函数为常数函数.
若 ,当
时,函数取得最大值
.
∴当 时,函数取得最大值
,取得最大值时
的集合为
;当
时,函数取得最大值
,取得最大值时
的集合为
,当
时,函数无最大值.
指出:对于含参数的最大值或最小值问题,要对 或
的系数进行讨论.
思考:此例若改为求最小值,结果如何?
【例3】要使下列各式有意义应满足什么条件?
(1) ; (2)
.
解:(1)由 ,
∴当 时,式子有意义.
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5.总结提炼
(1) ,
的定义域均为
.
(2) 、
的值域都是
(3)有界性:
(4)最大值或最小值都存在,且取得极值的 集合为无限集.
(5)正负敬意及零点,从图上一目了然.
(6)单调区间也可以从图上看出.
(五)板书设计
1.定义域
2.值域
3.最值
4.正负区间
5.零点
例1
例2
例3
课堂练习
课后思考题:求函数 的最大值和最小值及取最值时的
集合
提示:
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