《轨迹的探求》教学案例
一、教学背景：前面已经学习了抛物线的定义、标准方程、抛物线的几何性质以及抛物线与直线的位置关系，在学习这三种圆锥曲线的定义时他们的第二定义有一个共同的特点，都是满足这样的一个条件：动点P到定点和到定直线的距离的比为一个常数，那么，在其他的曲线中如果满足了一个条件，那怎样来求这样的曲线方程呢？而且求曲线的方程、通过方程研究曲线是解析几何的两大主要内容。那怎样探求轨迹。
二、教学设计：
1、提出问题：如问题是数学的心脏，思维是问题的开始。我们先来看一个具体的问题：若动圆过定点A（－3，0），且和定圆B（x－3）2＋y2＝4外切，求动圆圆心P轨迹方程。（电脑显示）
2、解决问题：
教师：大家先思考，然后请位同学来回答解答过程。
学生：（学生边解答，老师边板书）
解：如图，设动圆P和定圆外切于N点，则
。
所以，点P的轨迹是以A，B为两焦点，
半实轴长为1的双曲线的左支，其方程为
。
教师：下面我们检验解答结果，利用几何画板
演示（一）：拖动主动点N在圆B上转动，跟踪点P，
最后保留点P的轨迹。
学生1（很快提出）：根据以上解答点P的轨迹应是双曲线一支，演示结果怎么是双曲线的两支呢？
学生2：另一支是动圆与定圆B内切时，动圆圆心P的轨迹。
教师：因此，若动圆过定点A，且和定圆B相切，动圆圆心P轨迹是双曲线，其方程为： 。
3、探究问题：
教师：若改变点A位置，过定点A且和定圆B相切的动圆圆心P轨迹是否还是双曲线呢？大家可以先猜测，然后动手操作几何画板演示：先拖动点A到某一位置后，再拖动主动点N在圆B上转动，跟踪点P，最后保留点P的轨迹。观察点A在不同位置时，动圆圆心点P的轨迹，然后作出总结。
学生：动圆圆心点P的轨迹可能是双曲线，椭圆，圆，或者射线。
教师：大家能找出它的理论根据吗？
学生：若点A在圆外，动圆与定圆B相切，则 ，所以点P的轨迹仍是以点A，B为两焦点的双曲线；
若点A在圆内（除点B外），动圆与定圆B只有内切，则 ，所以点P的轨迹是以点A、B为两焦点的椭圆；
若点A与点B重合，则点P的轨迹是以点B为圆心，以2为半径的圆；
若点A在圆B上，当动圆与定圆B外切时，由 ，则点P的轨迹是x轴上以点A为端点，向左的射线；当动圆与定圆B内切时，则点P的轨迹是x轴上以点A为端点，向右的射线。
教师：非常好！若把点看作是半径为0的圆，那么增大半径，此时与两圆（位置关系可变化）都相切的动圆圆心点P的轨迹是什么呢？继续增大圆的半径，让其趋向于无穷大，此时圆可看作是一条直线，那么与直线和定圆（位置关系可变化）分别相切的动圆圆心P的轨迹又将是什么？
教师：（将学生分成4人一组，每组选择一个问题进行探究）类似于上面的探究过程：先进行猜测，借助几何画板演示，再作出论证、归纳、总结。然后由每小组派一位代表发言，交流探究成果。
4、作业：
思考题：Ａ、Ｂ是抛物线 上的两点，满足OA⊥OB。（Ｏ为坐标原点）求证：直线AB经过一个定点。
提示：将点Ｏ改为抛物线上的任意点，结论是否仍然成立？若将抛物线改为椭圆或双曲线结果又将如何？
三、教学反思：通过对问题的创设，培养了学生主动的发现问题解决问题的能力，充分调动了学生学习的主动性、积极性；通过对开放性问题的探讨过程，使学生掌握椭圆、双曲线、抛物线间的关系，理解圆锥曲线的统一性，同时培养了学生的合作能力及创新精神，有效地渗透了数学思想方法，发展了学生个性思维品质；在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。利用计算机辅助教学，使结果更形象、更直观，更能调动学生的积极性。
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