三年级奥数解析（三十九）重叠问题与容斥原理
《奥赛天天练》第45讲《重叠问题》。
日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题，
解答重叠问题常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分加起来，再从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结果既无遗漏又不重复。这个原理叫做包含与排除原理，也叫容斥原理。容斥原理包含以下两条基本计算公式：
①容斥原理一，如果被计数的对象，被分为A、B两大类，则：
被计数对象的总个数=A类元素个数+B类元素个数—同时属于A类和B类的元素个数。
②容斥原理二，如果被计数的对象，被分为A、B、C三大类，则：
被计数对象的总个数=A类元素+B类元素个数+C类元素个数—同时属于A类和B类的元素个数—同时属于A类和C类的元素个数—同时属于B类和C类的元素个数+同时属于A、B、C三类的元素个数。这条原理比较复杂，等到高年级再向孩子介绍。
本讲学习简单的重叠问题，只需孩子理解容斥原理一就可以了。运用容斥原理解答重叠问题应用题的关键是，画出示意图，认真分析已知条件，找出哪些是重复的，重复了几次？题目要求的又是哪一部分？借助示意图进行思考，找到正确的解答方法。
《奥赛天天练》第45讲，巩固训练，习题1
【题目】：
三（1）班有48人，其中订《少年报》的有32人，订《数学报》的有38人，有25人两份报都订，那么：
（1）只订《少年报》而没有订《数学报》的有多少人？
（2）只订《数学报》而没有订《少年报》的有多少人？
（3）有多少人两种报都没订？
【解析】：
先画出订报情况示意图，如下图：用长方形的面积表示全班人数；字母A所在的椭圆表示订《少年报》的人数32人；字母B所在的椭圆表示订《数学报》的人数38人；字母C所在区域即两个椭圆的重叠部分表示同时订了两份报的人数25人；字母D所在的空白部分表示两种报都没有的订的人数。
（1）用订《少年报》的总人数A，减去重叠部分C,剩下来的就是只订《少年报》而没有订《数学报》的人数：32-25=7（人）；
（2）同理,(B-C)就是只订《数学报》而没有订《少年报》的人数：38-25=13（人）；
（3）先求出订报的总人数，即图中所有阴影部分表示的人数，再用班级总人数减去订报总人数，即是两种报都没订的人数D。这题有两种解法。
解法一：在（1）、（2）两小题中已求出只订《少年报》的人数7人、只订《数学报》的人数13人，即图中纯黑色阴影部分和纯红色阴影表示的人数，中间重叠部分为25人，所以订报总人数为：7+25+13=45（人）。
所以，两种报都没有订的人数为：48-45=3（人）。
解法二：不考虑重叠部分，订《数学报》和《少年报》的总人数为：32+38=70（人）。有25人两份报都订了，这些人既包含在32人之中，又包含在38人之中，我们在求和时，这25人就加了两遍，重复计算了一遍，要去掉多算的一遍。因此，订报总人数为：70-25=45（人）。
两种报都没有订的人数就是：48-45=3（人）。
《奥赛天天练》第45讲，巩固训练，习题2
【题目】：
一次老师给全班同学做两道智力趣题，结果全班10人两题都对，8人两题都错，第二道题有15人错，问第一道对而第二道错的同学有多少人？
【解析】：
解答这题要抓住题中的有效条件，避免受无效条件的干扰。
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